2010年01月28日

google電卓で静止衛星の高度を計算してみる。

静止衛星の概念・実現可能性については1928年にまで遡り、『2001年宇宙の旅』の脚本を手がけたSF作家のクラークによってその具体的な利用法が1945年に提案された。(試作機ではなく)通信衛星として打ち上げられたのは1964年、これが実際に東京五輪のTV中継用として活躍していたことはあまり知られていない。

で、いろいろ調べものをしていたら、ちょっと個人的に興味深い掲示板を見つけた。

・静止衛星の高度を求める
 http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/physics/1188558320/l50

>1   CD50S海苔 [2007/08/31(金) 20:05:20]
>
>地球の赤道上を回る静止衛星の、地表からの高度を求める問題が解けないのですが、、、、
>求め方を教えてください!><
>
>
>2 CD50S海苔 [2007/09/16(日) 13:38:51]
>
>解法がわかったので、一応書いておきます
>向心力=万有引力より、
>mrω^2=GMm/(r^2)
>に、地球の質量、万有引力係数、角速度(2π/24時間)を代入するとのことでした。


根本的に間違っているわけではないが微妙に正しくない。例えば通常使う1日(24時間)ではなく恒星日を使わねば正しく求められない。ので、ここでgoogle電卓を使って静止衛星の高度の計算の具体例を示そうと思う。

解き方としては、静止衛星に対する重力加速度と周回運動によって生じる遠心力加速度が一致する高度が、その解であることは自明だ。衛星の周回運動によって生じる遠心力加速度と衛星にかかる重力加速度がつりあえば、衛星の落下も離脱も起きないからだ。従って、地球の重心から静止衛星までの距離をrとするなら、

 (2πr/1恒星日)2/r=万有引力定数*地球の質量/r2

と式を立てて、r について解けば良い(厳密には衛星の質量を加味しなければならないのだが、地球の質量と比較すれば極めて僅かでしかないものとしてこの場合考慮しない)。すると、

 (2πr/1恒星日)2=万有引力定数*地球の質量/r
 4π2r2/1恒星日2=万有引力定数*地球の質量/r
 4π2r3/1恒星日2=万有引力定数*地球の質量
 r3=万有引力定数*地球の質量*1恒星日2/4π2
 r=3√(万有引力定数*地球の質量*1恒星日2/4π2)

となり、そこから地球の赤道半径を差し引けば最終的に静止衛星の高度hを求めることが出来る。具体的には、

 h=3√(万有引力定数*地球の質量*1恒星日2/4π2)-地球の(赤道)半径

となる。実際にgoogle電卓を使って得た結果を示す。

GeosynchronousSatellite1.PNG


これで静止衛星の高度は約35,788[km]と求めることが出来た。が、ある文献に拠れば、22236.4[miles] 35786.0[km]となっていて上4桁しか値が一致していない。このような結論では謎電の作者の満足するところでないことは、本ブログの熱心な訪問者の方々は既にお解かりのところだと思う。

そこで(google電卓の組み込み定数は微妙に誤差が大きいので)、CODATA最新基礎物理定数を用いることを試みてみよう。具体的には、

・万有引力定数:6.67428×10-11 [m3 kg-1 s-2]
・地球の質量:5.97219×1024 [kg]

を採用し、地球の赤道半径は6,378.137[km](これはWikipediaにある値)、1恒星日は86,164.0905[s](これだけはgoogle電卓の組み込み定数と一致する)として再計算を行った結果が↓だ。

GeosynchronousSatellite2.PNG


結果として約35786.04[km]となり上6桁が、つまりは物理定数の有効桁数と完全に一致した。物理定数は現在の地球人の科学力では(例外もあるが)大抵4〜5桁までしか信用出来ないことを考えれば、この結果は理想的である。

以上は高校物理で学ぶ話だが、内容としては極めて初等で中学数学のレベル、基礎以前だ。しかしながら、このような「式を組み立てて解を得る」といった作業は、電子工作生活では日常茶飯事である。後日、一見複雑そうに思える問題を、ここでの話と似た方法で簡単に解く実例を挙げようと思う。
posted by Masa at 18:37| Comment(0) | ブログ | 更新情報をチェックする
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