2010年04月20日

実効値計算 (基礎編)

先ず、手始めに最大値(波高値)を1(peak to peak を2)に正規化した正弦波、方形波、鋸歯状波、三角波の実効値をWolffram Alpha の組み込み波形関数を用いて計算してみることにする。

で、その前に、実効値について薀蓄を。

・実効値の解説(Wikiより)
 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E5%8A%B9%E5%80%A4

妙に難しく書いてあるが、更に難しく言うと「実効値とは、純粋に交流成分のみに着目すれば標準偏差と同じ」である(汗)

・標準偏差の解説(Wikiより)
 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%81%8F%E5%B7%AE

>二乗平均平方根 (RMS) と混同されることもある。

とあるので、この意味を少々解説しておこうと思う。

・二乗平均平方根(RMS)
 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E4%B9%97%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9

>標準偏差と同じものであると誤解される事が多い。

厳密には、標準偏差と実効値は等しくない。しかしながら交流成分にのみ着目して計算すれば標準偏差と実効値は同じになる。通常のアナログ信号をカップリングするなどして(直流成分を除いて)からサンプリングし計算を行うと仮定すれば、理論上計算式が一致する。要するに平均=0なので、実効値=標準偏差となる、ということなのだ。

例えば水晶発振器のジッタの量の単位は実効値(RMSとして単位が秒)表示ではなく標準偏差(σとして単位が秒)表示が正しいし、そのように表記していることが多い。が、ジッタを不要なノイズとして捉え、そのノイズのみに着目すればRMS=σになる。とは言っても、クロックのデューティ比は1:1とは限らず誤解されかねないので、実効値表示を止めて標準偏差表示にした、というのが実情ではないかと思う。逆に、電圧レギュレイタのノイズ表示の場合は、出力電圧に対するRMS比率か、単にRMS電圧で示すことが殆どだ。

で、前置きが長くなったが本題に入る。各波形、それぞれ1波長分について計算した結果は次の通り。

・正弦波:sqrt( integral[ sin(2pi x )^2 dx from x=0 to 1 ] )=1/√2
・方形波:sqrt( integral[ squarewave( x )^2 dx from x = 0 to 1 ] )=1
・鋸歯状波:sqrt( integral[ ( 2 sawtoothwave( x ) - 1 )^2 dx from x=0 to 1 ] )=1/√3
・三角波:sqrt( integral[ trianglewave( x )^2 dx from x=0 to 1 ] )=1/√3

鋸歯状波と三角波の実効値が同じだが、この種の波形の実効値はrise/fall時間に関係なく1/√3になることを知っておいて損はない(直感的にも理解出来ることであるが)。この様に、定積分の計算も結構高速にやってくれる。このような機能を持つ電卓は世にあるし私も持っているのだが、とてつもなく遅い(汗)ので、Wolfram Alpha は非常に便利だ。

最後に余談。Wolfram Alphaで予約されている波形関数は、仕様が微妙に統一されていないように私は感じる。これらについて留意しておいた方が良いように思うので、参考までに squarewave, sawtoothwave, trianglewave をプロットした結果を↓に示しておく。

WolframAlphaWaveFuncs.PNG


posted by Masa at 20:52| Comment(0) | Wolfram Alpha | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
コメントを書く
お名前: [必須入力]

メールアドレス: [必須入力]

ホームページアドレス:

コメント: [必須入力]

※ブログオーナーが承認したコメントのみ表示されます。
×

この広告は1年以上新しい記事の投稿がないブログに表示されております。